例 7.25

依赖于

• 例 7.24

被以下题目直接调用

• 无

例 7.25

设 $C$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，求证：存在 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A,B$，使得 $AB-BA=C$ 的充要条件是 $\mathrm{tr}(C)=0$。

解答

证明 必要性由矩阵迹的线性和交换性即得，下证充分性。由于题目的条件和结论在同时相似变换 $A\mapsto P^{-1}AP,B\mapsto P^{-1}BP,C\mapsto P^{-1}CP$ 下不改变，故由例 7.24 不妨从一开始就假设 $C=(c_{ij})$ 的主对角元 $c_{ii}=0(1\le i\le n)$。取定 $A=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$ 为 $K$ 上的主对角元互异的对角矩阵。设 $B=(x_{ij})$，则 $AB-BA=C$ 等价于方程 ${\lambda }_i{x}_{ij}-{\lambda }_j{x}_{ij}=c_{ij}$。当 $i=j$ 时，上式恒成立，故 $x_{ii}$ 可任取。当 $i\ne j$ 时，$x_{ij}=\frac{c_{ij}}{{\lambda }_i-{\lambda }_j}$ 被唯一确定。因此，一定存在 $K$ 上的矩阵 $A,B$，使得 $AB-BA=C$ 成立。$\square$