例 7.22

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• 无显式依赖

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• 20 级高代 I 期中 04

例 7.22

设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵，求证：$A$ 的极小多项式的次数小于等于 $r(A)+1$。

解答

证明 设 $A$ 的不变因子组为 $1,\cdots ,1,d_1(\lambda ),\cdots ,d_k(\lambda )$，则极小多项式 $m(\lambda )=d_k(\lambda )$，$A$ 相似于 $F=\mathrm{diag}\{F(d_1(\lambda )),\cdots ,F(d_k(\lambda ))\}$。设 $\mathrm{deg}{d}_k(\lambda )=r$，若 $d_k(0)\ne 0$，则 $F(d_k(\lambda ))$ 非异；若 $d_k(0)=0$，则 $F(d_k(\lambda ))$ 奇异且右上角的 $r-1$ 阶子式非零，从而秩为 $r-1$。因此，

$$r(A)=r(F)\ge r(F(d_k(\lambda )))\ge r-1=\mathrm{deg}{d}_k(\lambda )-1.$$

$\square$