20 级高代 I 期中 04

依赖于

• 例 7.22

被以下题目直接调用

• 无

20 级高代 I 期中 04

设数域 $\mathbb{K}$ 上所有 $n$ 阶方阵全体为 $M_n(\mathbb{K})$。对 $A\in M_n(\mathbb{K})$，记

$$C(A)=\{B\in M_n(\mathbb{K})\mid AB=BA\}.$$

问题分两问：

1. 当

   $$n=3,A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$$

   时，求 $C(A)$ 的一组基。

2. 当 $n=2$ 时，确定 $\dim C(A)$ 的所有可能值。

解答

由例 7.22 可知：若 $A$ 的极小多项式等于特征多项式，则

$$C(A)=\mathbb{K}[A],$$

并且 $C(A)$ 的一组基为

$$I_n,A,\dots ,A^{n-1}.$$

对第一问，矩阵 $A$ 是多项式

$$f(\lambda )={\lambda }^3-\lambda -1$$

的 Frobenius 块，所以它的极小多项式和特征多项式都等于 $f(\lambda )$。由例 7.22 立刻得到

$$C(A)=\mathbb{K}[A],$$

从而一组基为

$$I_3,A,A^2.$$

对第二问，设二阶方阵 $A$ 的极小多项式为 $m(\lambda )$，特征多项式为 $f(\lambda )$。二阶情形只有两类：

• 若 $\mathrm{deg}m(\lambda )=2$，则由 Cayley-Hamilton 定理，$m(\lambda )=f(\lambda )$。于是由例 7.22，

  $$C(A)=\mathbb{K}[A],$$

  因而

  $$\dim C(A)=2.$$

• 若 $\mathrm{deg}m(\lambda )=1$，则 $m(\lambda )=\lambda -a$，于是

  $$A=a{I}_2.$$

  这时 $A$ 与所有二阶矩阵可交换，所以

  $$C(A)=M_2(\mathbb{K}),$$

  因而

  $$\dim C(A)=4.$$

所以二阶时 $\dim C(A)$ 只能取 $2$ 或 $4$。

参考：谢启鸿高等代数官方博客。