例 7.15

依赖于

• 例 6.80
• 例 7.9

被以下题目直接调用

• 无

例 7.15

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，求证：$A$ 的特征多项式和极小多项式相等。

解答

证法 1 设 $A$ 的 $n$ 个不同的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则由例 6.80 可知，特征多项式 $f(\lambda )$ 和极小多项式 $m(\lambda )$ 有相同的根（不计重数），因此

$$f(\lambda )=m(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\cdots (\lambda -{\lambda }_n).$$

证法 2 由于 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，故 $A$ 相似于对角矩阵。又因为相似矩阵有相同的特征多项式和极小多项式，所以只要对对角矩阵证明此结论即可。设 $A=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$，则

$$\lambda I_n-A=\mathrm{diag}\{\lambda -{\lambda }_1,\lambda -{\lambda }_2,\cdots ,\lambda -{\lambda }_n\},$$

这是一个主对角元素两两互素的对角矩阵，由例 7.9 以及数学归纳法可知其法式为

$$\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\cdots (\lambda -{\lambda }_n)\}.$$

因此，$A$ 的特征多项式和极小多项式相等。$\square$