问题 2023S04

依赖于

• 问题 2023S02
• 例 2.54
• 例 6.57
• 例 6.66

被以下题目直接调用

• 无

问题 2023S04

(1) 设 A 为 n 阶复方阵, $\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{n\times n}$ , 其中 $b_{ij}=\mathrm{tr}(A^{i+j-2})$ , 并且约定 $A^0=I_n$ . 证明: 若 B 为非异阵, 则 A 可对角化.

(2) 证明: 问题 2023S02 中 $\phi$ 的表示矩阵复可对角化.

解答

(1) 设 A 的全体特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则 $A^m$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1^m,{\lambda }_2^m,\cdots ,{\lambda }_n^m$，于是 $b_{ij}=\mathrm{tr}(A^{i+j-2})={\sum }_{k=1}^n{\lambda }_k^{i+j-2}=s_{i+j-2}$，并且由约定 $b_{11}=\mathrm{tr}(I_n)=n=s_0$。由例 2.54 可知

$$|\mathbf{B}|=\prod _{1\le i<j\le n}({\lambda }_i-{\lambda }_j{)}^2\ne 0,$$

于是 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 两两互异, 即 A 有 n 个不同的特征值, 从而 A 可对角化.

(2) 表示矩阵 $A=\mathrm{diag}\{S,-S\}$ , 故只要证明 $S$ 可对角化即可. 根据 问题 2023S02 的计算, $S$ 的全体特征值为 ${\omega }_k={\mathrm{e}}^{\frac{2k\pi i}{n}}$ ($n$ 重), $0\le k\le n-1$ . 经与 $S$ 的特征多项式完全类似的计算可知, 特征值 ${\omega }_k$ 的几何重数为 $n^2-\mathrm{r}(S-{\omega }_{k}I)=n^2-(n^2-n)=n$ , 于是 ${\omega }_k(0\le k\le n-1)$ 的代数重数等于几何重数, 从而 $S$ 有完全的特征向量系, 因此 $S$ 可对角化. 也可以这样讨论. 由于 $J$ 有 $n$ 个不同的特征值, 故可对角化, 再由例 6.57 的证明可知, $S=J\otimes J$ 也可对角化. 还可以这样讨论. 由 $J^n=I_n$ 可得 ${\phi }^{2n}=I_V$ , 于是 $\phi$ 及其表示矩阵 $A$ 均适合多项式 $x^{2n}-1$ . 这个多项式在复数域中无重根, 故由例 6.66 (或 $A$ 的极小多项式也无重根) 可知, $A$ 可对角化.