第 6 章解答题 8

依赖于

• 例 6.40
• 例 6.32

被以下题目直接调用

• 无

第 6 章解答题 8

设 $A,B$ 为 $n$ 阶复矩阵，且存在复数 $a,b$，使得 $AB-BA=aA+bB$。证明： 存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 都是上三角矩阵。

解答

若 $a=b=0$，则 $AB=BA$，由例 6.40 可知 $A,B$ 可以同时上三角化。若 $a,b$ 不全为零， 不妨设 $a\ne 0$，可在等式 $AB-BA=aA+bB$ 两边除以 $a$，并用 $a^{-1}B$ 替代 $B$，故不妨设 $a=1$。 将上述等式改写为

$$(A+bB)B-B(A+bB)=A+bB,$$

这不影响结论，因此不妨设 $b=0$。因此，我们只要证明：若 $AB-BA=A$，则 $A,B$ 可同时上三角化。 首先，由例 6.32 可知 $A$ 的特征值全为零，其特征子空间设为 $V_0$，则容易验证 $V_0$ 是 $B$-不变子空间，由此可证明 $A,B$ 有公共的特征向量。再仿照例 6.40 的证明，对阶数进行归纳即可完成证明。