第 6 章解答题 7

依赖于

• 例 6.31

被以下题目直接调用

• 无

第 6 章解答题 7

设 $S=\{A_1,A_2,\cdots ,A_r\}$ 为 $r$ 个互异的可逆矩阵构成的集合，且该集合关于矩阵乘法封闭， 即对任意的 $M,N\in S$，有 $MN\in S$。证明：${\sum }_{i=1}^r{A}_i=O$ 成立的充要条件是

$$\mathrm{tr}\left(\sum _{i=1}^r{A}_i\right)=0.$$

解答

必要性显然，现证充分性。由 $A_k$ 非异可知 $A_i{A}_k\ne A_j{A}_k(i\ne j)$， 再由乘法的封闭性可知 $S=\{A_1{A}_k,A_2{A}_k,\cdots ,A_r{A}_k\}$。令 $A={\sum }_{i=1}^r{A}_i$，则 $A^2=rA$，于是 $A$ 的特征值也适合 $x^2-rx$，从而只能是 $0$ 和 $r$。 由假设 $\mathrm{tr}(A)=0$，故 $r$ 不可能是 $A$ 的特征值，即 $A-r{I}_n$ 是非异阵， 最后由 $A(A-r{I}_n)=O$ 可得 $A=O$。也可以这样来讨论，注意到 $A^k=r^{k-1}A(k\ge 1)$，故由 $\mathrm{tr}(A)=0$ 可得 $\mathrm{tr}(A^k)=0(k\ge 1)$。由例 6.31 可知 $A$ 为幂零矩阵，于是 $r^{n-1}A=A^n=O$，从而 $A=O$。