第 6 章解答题 14

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• 例 6.88

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• 无

第 6 章解答题 14

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 适合多项式 $f(x)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$，其中 $|a_m|>{\sum }_{i=0}^{m-1}|a_i|$。求证：矩阵方程 $2X+AX=X{A}^2$ 只有零解。

解答

任取 $A$ 的特征值 ${\lambda }_0$，则 $f({\lambda }_0)=0$，我们断言 $|{\lambda }_0|<1$。 用反证法，若 $|{\lambda }_0|\ge 1$，则

$$|a_m|=\left|-\sum _{i=0}^{m-1}{a}_i{\lambda }_0^{-m+i}\right|\le \sum _{i=0}^{m-1}|a_i||{\lambda }_0{|}^{-m+i}\le \sum _{i=0}^{m-1}|a_i|,$$

这与假设矛盾。将矩阵方程整理为 $(A+2I_n)X=X{A}^2$，注意到 $A+2I_n$ 的特征值落在 $D_1:|z-2|<1$ 中，$A^2$ 的特征值落在 $D_2:|z|<1$ 中，显然这两个开圆盘不相交， 故 $A+2I_n$ 和 $A^2$ 没有公共的特征值，最后由例 6.88 可知矩阵方程只有零解。