例 6.94

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例 6.94

设 $φ$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，其特征多项式是 $f (λ)$ 且 $f (λ) = f_{1} (λ) f_{2} (λ)$ ，其中 $f_{1} (λ), f_{2} (λ)$ 是互素的首一多项式。令 $V_{1} = Ker f_{1} (φ)$ ， $V_{2} = Ker f_{2} (φ)$ ，求证：

(1) $V_{1}, V_{2}$ 是 $φ$ -不变子空间且 $V = V_{1} \oplus V_{2}$ ；

(2) $V_{1} = Im f_{2} (φ)$ ， $V_{2} = Im f_{1} (φ)$ ；

(3) $φ ∣_{V_{1}}$ 的特征多项式是 $f_{1} (λ)$ ， $φ ∣_{V_{2}}$ 的特征多项式是 $f_{2} (λ)$ 。

解答

证明 (1) 由 Cayley-Hamilton 定理可得 $f (φ) = f_{1} (φ) f_{2} (φ) = 0$ ，故由例 5.78 可知 (1) 的结论成立。

(2) 由 $f_{1} (φ) f_{2} (φ) = 0$ 可得 $Im f_{2} (φ) \subseteq Ker f_{1} (φ) = V_{1}$ ， $Im f_{1} (φ) \subseteq Ker f_{2} (φ) = V_{2}$ 。因为 $V = V_{1} \oplus V_{2}$ ，故由维数公式可得

dim Im f_{2} (φ) dim Im f_{1} (φ) = dim V - dim Ker f_{2} (φ) = dim V - dim V_{2} = dim V_{1}, = dim V - dim Ker f_{1} (φ) = dim V - dim V_{1} = dim V_{2},

从而 $V_{1} = Im f_{2} (φ)$ ， $V_{2} = Im f_{1} (φ)$ 。

(3) 设 $φ ∣_{V_{i}}$ 的特征多项式为 $g_{i} (λ)$ $(i = 1, 2)$ ，则由例 6.3 可得

f (λ) = f_{1} (λ) f_{2} (λ) = g_{1} (λ) g_{2} (λ) . (6.8)

注意到 $f_{i} (φ ∣_{V_{i}}) = f_{i} (φ) ∣_{V_{i}} = 0$ ，即 $φ ∣_{V_{i}}$ 适合多项式 $f_{i} (λ)$ ，因此 $φ ∣_{V_{i}}$ 的特征值也适合 $f_{i} (λ)$ ，即 $g_{i} (λ)$ 的根都是 $f_{i} (λ)$ 的根。因为 $(f_{1} (λ), f_{2} (λ)) = 1$ ，故 $f_{1} (λ)$ 与 $f_{2} (λ)$ 没有公共根，从而由 $f_{i} (λ)$ 的首一性和 (6.8) 式即得 $f_{1} (λ) = g_{1} (λ)$ ， $f_{2} (λ) = g_{2} (λ)$ 。 $□$

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