例 6.87

依赖于

例 6.87

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，求证：伴随矩阵 $A^{*} = h (A)$ ，其中 $h (x)$ 是一个 $n - 1$ 次多项式。

证明我们用撬动法来证明结论。设 $f (x) = x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n}$ 是 $A$ 的特征多项式，其中 $a_{n} = (- 1)^{n} ∣ A ∣$ 。若 $A$ 是可逆矩阵，则由例 6.86 可得

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1} = (- 1)^{n - 1} (A^{n - 1} + a_{1} A^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} I_{n}) .

令 $h (x) = (- 1)^{n - 1} (x^{n - 1} + a_{1} x^{n - 2} + \dots + a_{n - 1})$ ，则 $A^{*} = h (A)$ ，并且 $h (x)$ 的系数由特征多项式 $f (x)$ 的系数唯一确定。

对于一般的方阵 $A$ ，可取到一列有理数 $t_{k} \to 0$ ，使得 $t_{k} I_{n} + A$ 为可逆矩阵。设

f_{t_{k}} (x) = ∣ x I_{n} - (t_{k} I_{n} + A) ∣ = x^{n} + a_{1} (t_{k}) x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} (t_{k}) x + a_{n} (t_{k})

为 $t_{k} I_{n} + A$ 的特征多项式，则 $a_{i} (t_{k})$ 都是 $t_{k}$ 的多项式且 $a_{i} (0) = a_{i} (1 \leq i \leq n)$ 。由可逆矩阵情形的证明可得

(t_{k} I_{n} + A)^{*} = (- 1)^{n - 1} ((t_{k} I_{n} + A)^{n - 1} + a_{1} (t_{k}) (t_{k} I_{n} + A)^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} (t_{k}) I_{n}) .

注意到上式两边的矩阵中的元素都是 $t_{k}$ 的多项式，从而关于 $t_{k}$ 连续。上式两边同时取极限，令 $t_{k} \to 0$ ，即得

A^{*} = (- 1)^{n - 1} (A^{n - 1} + a_{1} A^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} I_{n}) .

因此无论 $A$ 是否可逆，我们都有 $A^{*} = h (A)$ 成立。 $□$