例 6.8

依赖于

• 例 2.69

被以下题目直接调用

• 无

例 6.8

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，求 $2n$ 阶矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}A& A^2\\ A^2& A\end{array}\right)$$

的全体特征值。

解答

解 由例 2.69 可知

$$\left|\begin{array}{cc}\lambda I_n-A& -A^2\\ -A^2& \lambda I_n-A\end{array}\right|=|\lambda I_n-A-A^2||\lambda I_n-A+A^2|.$$

注意到 $A+A^2$ 的全体特征值为 ${\lambda }_i+{\lambda }_i^2(1\le i\le n)$， $A-A^2$ 的全体特征值为 ${\lambda }_i-{\lambda }_i^2(1\le i\le n)$，因此所求矩阵的全体特征值为

$${\lambda }_1+{\lambda }_1^2,{\lambda }_1-{\lambda }_1^2,{\lambda }_2+{\lambda }_2^2,{\lambda }_2-{\lambda }_2^2,\cdots ,{\lambda }_n+{\lambda }_n^2,{\lambda }_n-{\lambda }_n^2.$$

$\square$