例 2.69

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 2.70
• 例 6.8

例 2.69

设 $A,B$ 是 $n$ 阶矩阵，求证：

$$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right|=|A+B||A-B|.$$

解答

证明 将分块矩阵的第二行加到第一行上，再将第二列减去第一列，可得

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A+B& A+B\\ B& A\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A+B& O\\ B& A-B\end{array}\right).$$

第三类分块初等变换不改变行列式的值，因此可得

$$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A+B& O\\ B& A-B\end{array}\right|=|A+B||A-B|.$$