例 6.78

依赖于

• 例 6.76
• 例 6.77

被以下题目直接调用

• 无

例 6.78

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 可对角化，${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_k$ 是 $A$ 的全体不同的 特征值，试求 $A$ 的极小多项式。

解答

解 设 $A$ 的极小多项式为 $m(x)$。由 $A$ 可对角化知存在可逆矩阵 $P$，使得

$$P^{-1}AP=B=\mathrm{diag}\{B_1,B_2,\cdots ,B_k\},$$

其中 $B_i={\lambda }_{i}I$ 为纯量矩阵。显然 $B_i$ 的极小多项式为 $x-{\lambda }_i$， 故由例 6.76 和例 6.77 可得

$$m(x)=[x-{\lambda }_1,x-{\lambda }_2,\cdots ,x-{\lambda }_k]=(x-{\lambda }_1)(x-{\lambda }_2)\cdots (x-{\lambda }_k).\square$$