例 6.7

依赖于

• 例 2.8

被以下题目直接调用

• 例 6.12

例 6.7

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，$f(x)$ 是一个多项式，求证： $f(A)$ 的全体特征值为 $f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),\cdots ,f({\lambda }_n)$。

解答

证明 因为任一 $n$ 阶矩阵均复相似于上三角矩阵，故可设

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right).$$

注意到上三角矩阵的和、数乘及乘方仍是上三角矩阵（参考例 2.8），经计算可得

$$P^{-1}f(A)P=f(P^{-1}AP)=\left(\begin{array}{cccc}f({\lambda }_1)& \ast & \cdots & \ast \\ 0& f({\lambda }_2)& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & f({\lambda }_n)\end{array}\right),$$

因此 $f(A)$ 的全体特征值为 $f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),\cdots ,f({\lambda }_n)$。$\square$