例 6.69

依赖于

• 例 6.67

被以下题目直接调用

• 无

例 6.69

设 $n$ 阶矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& B\\ O& -I_{n-r}\end{array}\right),$$

求证：$A$ 可对角化。

解答

证法 1 显然 $A$ 有特征值 $1$（$r$ 重）与 $-1$（$n-r$ 重）。注意到矩阵

$$I_n-A=\left(\begin{array}{cc}O& -B\\ O& 2I_{n-r}\end{array}\right)$$

的秩等于 $n-r$，因此特征值 $1$ 的几何重数等于 $n-r(I_n-A)=r$，与其代数重数相等。同理可证特征值 $-1$ 的几何重数为 $n-r$，与其代数重数相同。因此 $A$ 可对角化，且相似于对角矩阵 $\mathrm{diag}\{I_r,-I_{n-r}\}$。

证法 2 容易算出 $A^2=I_n$，由例 6.67 (1) 可知 $A$ 可对角化。

证法 3 由

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_r& \frac{1}{2}B\\ O& I_{n-r}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{I}_r& B\\ O& -I_{n-r}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{I}_r& -\frac{1}{2}B\\ O& I_{n-r}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& -I_{n-r}\end{array}\right)$$

即得。$\square$