例 6.47

依赖于

例 6.47

设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $r (A B A) = r (B)$ ，求证： $A B$ 与 $B A$ 相似。

证明设 $P, Q$ 为 $n$ 阶非异阵，使得

P A Q = (I_{r} O O O),

其中 $r = r (A)$ 。注意到问题的条件和结论在相抵变换 $A \mapsto P A Q, B \mapsto Q^{- 1} B P^{- 1}$ 下保持不变，故不妨从一开始就假设

A = (I_{r} O O O)

是相抵标准型。设

B = (B_{11} B_{21} B_{12} B_{22})

为对应的分块，则由 $r (A B A) = r (B)$ 可得

r (B_{11} B_{21} B_{12} B_{22}) = r (B_{11}) .

由此进一步可得

r (B_{11} B_{12}) = r (B_{11}), r (B_{11} B_{21}) = r (B_{11}),

再由例 3.105 可知存在矩阵 $M, N$ ，使得

B_{11} N = B_{12}, M B_{11} = B_{21} .

将

A B = (B_{11} O B_{12} O)

的第二分块行左乘 $N$ 加到第一分块行，再将第一分块列右乘 $- N$ 加到第二分块列，于是 $A B$ 相似于

(B_{11} O O O) .

将

B A = (B_{11} B_{21} O O)

的第一分块行左乘 $- M$ 加到第二分块行，再将第二分块列右乘 $M$ 加到第一分块列，于是 $B A$ 相似于

(B_{11} O O O) .

因此， $A B$ 与 $B A$ 相似。 $□$