例 6.41

依赖于

• 例 6.38

被以下题目直接调用

• 例 6.44
• 例 7.33

例 6.41

设 $\phi ,\psi$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，满足：$\phi \psi =\psi \phi$ 且 $\phi ,\psi$ 都可对角化，求证：$\phi ,\psi$ 可同时对角化，即存在 $V$ 的一组基，使得 $\phi ,\psi$ 在这组基下的表示矩阵都是对角矩阵。

解答

证明 对空间维数进行归纳。当 $n=1$ 时结论显然成立，设对维数小于 $n$ 的线性空间结论成立，现对 $n$ 维线性空间进行证明。设 $\phi$ 的全体不同特征值为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_s\in \mathbb{F}$，对应的特征子空间分别为 $V_1,\cdots ,V_s$，则由 $\phi$ 可对角化可知

$$V=V_1\oplus \cdots \oplus V_s.$$

若 $s=1$，则 $\phi ={\lambda }_1{I}_V$ 为纯量变换，此时只要取 $V$ 的一组基，使得 $\psi$ 在这组基下的表示矩阵为对角矩阵，则 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 ${\lambda }_1{I}_n$，结论成立。若 $s>1$，则 $\dim V_i<n$。注意到 $\phi \psi =\psi \phi$ 且 $\phi ,\psi$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，由例 6.38 可知 $V_i$ 都是 $\psi$-不变子空间。考虑线性变换的限制 $\phi {|}_{V_i},\psi {|}_{V_i}$：它们乘法可交换，且由可对角化线性变换的性质可知它们都可对角化，故由归纳假设可知，$\phi {|}_{V_i},\psi {|}_{V_i}$ 可同时对角化，即存在 $V_i$ 的一组基，使得 $\phi {|}_{V_i},\psi {|}_{V_i}$ 在这组基下的表示矩阵都是对角矩阵。将 $V_i$ 的基拼成 $V$ 的一组基，则 $\phi ,\psi$ 在这组基下的表示矩阵都是对角矩阵，即 $\phi ,\psi$ 可同时对角化。$\square$