例 6.3

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• 无显式依赖

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• 例 6.4
• 例 6.94
• 例 7.87

例 6.3

设 $\phi$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$V$ 有一个直和分解：

$$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_m,$$

其中 $V_i$ 都是 $\phi$-不变子空间。

(1) 设 $\phi$ 限制在 $V_i$ 上的特征多项式为 $f_i(\lambda )$，求证：$\phi$ 的特征多项式

$$f(\lambda )=f_1(\lambda )f_2(\lambda )\cdots f_m(\lambda ).$$

(2) 设 ${\lambda }_0$ 是 $\phi$ 的特征值，$V_0=\{v\in V\mid \phi (v)={\lambda }_{0}v\}$ 为特征子空间， $V_{i,0}=V_i\cap V_0=\{v\in V_i\mid \phi (v)={\lambda }_{0}v\}$，求证：

$$V_0=V_{1,0}\oplus V_{2,0}\oplus \cdots \oplus V_{m,0}.$$

解答

证明 (1) 取 $V_i$ 的一组基，将它们拼成 $V$ 的一组基。记 $A_i$ 是 $\phi$ 在 $V_i$ 上的限制在 $V_i$ 所取基下的表示矩阵，则 $\phi$ 在 $V$ 的这组基下的表示矩阵为分块对角矩阵 $A=\mathrm{diag}\{A_1,A_2,\cdots ,A_m\}$，于是

$$f(\lambda )=|\lambda I_n-A|=|\lambda I-A_1||\lambda I-A_2|\cdots |\lambda I-A_m|,$$

即 $f(\lambda )=f_1(\lambda )f_2(\lambda )\cdots f_m(\lambda )$。

(2) 任取 $\alpha \in V_0$，设 $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_m$，其中 ${\alpha }_i\in V_i$，则

$$\phi ({\alpha }_1)+\phi ({\alpha }_2)+\cdots +\phi ({\alpha }_m)=\phi (\alpha )={\lambda }_0\alpha ={\lambda }_0{\alpha }_1+{\lambda }_0{\alpha }_2+\cdots +{\lambda }_0{\alpha }_m.$$

注意到 $\phi ({\alpha }_i)\in V_i$，故由直和的充要条件可得 $\phi ({\alpha }_i)={\lambda }_0{\alpha }_i$，即 ${\alpha }_i\in V_{i,0}$，从而 $V_0=V_{1,0}+V_{2,0}+\cdots +V_{m,0}$。注意到 $V_{i,0}\subseteq V_i$，故

$$V_{i,0}\cap (V_{1,0}+\cdots +V_{i-1,0})\subseteq V_i\cap (V_1+\cdots +V_{i-1})=0,2\le i\le m,$$

于是上述和为直和。$\square$