例 6.18

依赖于

• 例 2.8

被以下题目直接调用

• 无

例 6.18

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，求证：$A^{\ast }$ 的全体特征值为

$$\prod _{i\ne 1}{\lambda }_i,\prod _{i\ne 2}{\lambda }_i,\cdots ,\prod _{i\ne n}{\lambda }_i.$$

解答

证明 因为任一 $n$ 阶矩阵均复相似于上三角矩阵，故可设

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right).$$

注意到上三角矩阵的伴随矩阵仍是上三角矩阵（参考例 2.8），经计算可得

$$P^{-1}{A}^{\ast }P=P^{\ast }{A}^{\ast }(P^{-1}{)}^{\ast }=(P^{-1}AP{)}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{\prod }_{i\ne 1}{\lambda }_i& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\prod }_{i\ne 2}{\lambda }_i& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\prod }_{i\ne n}{\lambda }_i\end{array}\right),$$

因此 $A^{\ast }$ 的全部特征值为

$$\prod _{i\ne 1}{\lambda }_i,\prod _{i\ne 2}{\lambda }_i,\cdots ,\prod _{i\ne n}{\lambda }_i.$$

$\square$