例 6.17

依赖于

• 例 2.8

被以下题目直接调用

• 无

例 6.17

设 $n$ 阶可逆矩阵 $A$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，求证： $A^{-1}$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1^{-1},{\lambda }_2^{-1},\cdots ,{\lambda }_n^{-1}$。

解答

证明 首先注意到 $A$ 是可逆矩阵，${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=|A|\ne 0$，因此每个 ${\lambda }_i\ne 0$ （事实上，$A$ 可逆的充要条件是它的特征值全不为零）。

因为任一 $n$ 阶矩阵均复相似于上三角矩阵，故可设

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right).$$

注意到上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵（参考例 2.8），经计算可得

$$P^{-1}{A}^{-1}P=(P^{-1}AP{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^{-1}& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2^{-1}& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n^{-1}\end{array}\right),$$

因此 $A^{-1}$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1^{-1},{\lambda }_2^{-1},\cdots ,{\lambda }_n^{-1}$。$\square$