例 6.101

依赖于

• 例 6.39

被以下题目直接调用

• 例 6.102

例 6.101

设 $A,B$ 分别是 $m,n$ 阶矩阵，$A$ 的特征值为 ${\lambda }_i(1\le i\le m)$， $B$ 的特征值为 ${\mu }_j(1\le j\le n)$，求证：$A\otimes B$ 的特征值为 ${\lambda }_i{\mu }_j(1\le i\le m;1\le j\le n)$。

解答

证明 由例 6.39 可知，存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 以及 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使得

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \ast & \ast \\ & {\lambda }_2& \ast & \ast \\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\lambda }_m\end{array}\right),Q^{-1}BQ=\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& \ast & \ast & \ast \\ & {\mu }_2& \ast & \ast \\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\mu }_n\end{array}\right).$$

容易验证上三角矩阵的 Kronecker 积仍是上三角矩阵且 $(P^{-1}AP)\otimes (Q^{-1}BQ)$ 的主对角元素依次为

$${\lambda }_1{\mu }_1,\cdots ,{\lambda }_1{\mu }_n,{\lambda }_2{\mu }_1,\cdots ,{\lambda }_2{\mu }_n,\cdots ,{\lambda }_m{\mu }_1,\cdots ,{\lambda }_m{\mu }_n.$$

注意到 $(P^{-1}AP)\otimes (Q^{-1}BQ)=(P\otimes Q{)}^{-1}(A\otimes B)(P\otimes Q)$， 故结论得证。$\square$