问题 2022A15

依赖于

• 例 5.42

被以下题目直接调用

• 无

问题 2022A15

证明: 实系数多项式 $x^3+p{x}^2+qx+r$ 的 3 个根都是实数的充要条件是

$$4p^{3}r-p^2{q}^2-18pqr+4q^3+27r^2\le 0.$$

解答

令 $y=x+\frac{p}{3}$，经简单计算可得

$$x^3+p{x}^2+qx+r=y^3+\left(q-\frac{p^2}{3}\right)y+\left(r+\frac{2p^3}{27}-\frac{pq}{3}\right).$$

由例 5.42 可知, 上述实系数多项式有三个实数根的充要条件是

$$\Delta =\frac{1}{4}{\left(r+\frac{2p^3}{27}-\frac{pq}{3}\right)}^2+\frac{1}{27}{\left(q-\frac{p^2}{3}\right)}^3\le 0,$$

化简后即得结论.