例 5.74

依赖于

• 例 5.69

被以下题目直接调用

• 例 5.71

例 5.74

设 $f(x)=g(h(x))$，其中 $h(x)$ 是 $m$ 次首一多项式，$g(x)$ 是 $n$ 次首一多项式，其根为 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，求证：

$$\Delta (f(x))=\Delta (g(x){)}^m\Delta (h(x)-x_1)\Delta (h(x)-x_2)\cdots \Delta (h(x)-x_n).$$

解答

证法 1 由假设 $g(x)$ 的根为 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，故有

$$f(x)=g(h(x))=(h(x)-x_1)(h(x)-x_2)\cdots (h(x)-x_n).$$

又设

$$h(x)-x_i=(x-u_{i1})(x-u_{i2})\cdots (x-u_{im}),1\le i\le n,$$

于是 $u_{ij}(1\le i\le n,1\le j\le m)$ 就是 $f(x)$ 的全部根。对二重足标引进序如下：

$$(i,j)<(k,l)\text{当且仅当 }i<k\text{ 或 }i=k,j<l.$$

由题目条件可知 $f(x)$ 是首一多项式，因此

$$\Delta (f(x))=\prod _{1\le (i,j)<(i^{\prime },j^{\prime })\le (n,m)}(u_{ij}-u_{i^{\prime }{j}^{\prime }}{)}^2.$$

对上式乘积中的因子进行分类。第一类（第一个足标相同）：

$$\Delta (h(x)-x_i)=\prod _{1\le j<j^{\prime }\le m}(u_{ij}-u_{i{j}^{\prime }}{)}^2,$$

因此

$$\prod _{i=1}^n\Delta (h(x)-x_i)=\prod _{i=1}^n\prod _{1\le j<j^{\prime }\le m}(u_{ij}-u_{i{j}^{\prime }}{)}^2.$$

第二类（第一个足标不同）：注意到对固定的 $i$，$u_{ij}$ 是 $h(x)-x_i$ 的根，因此 $h(u_{ij})=x_i$。 又

$$\begin{array}{rl}h(u_{i1})-x_{i^{\prime }}& =(u_{i1}-u_{i^{\prime }1})(u_{i1}-u_{i^{\prime }2})\cdots (u_{i1}-u_{i^{\prime }m}),i+1\le i^{\prime }\le n;\\ h(u_{i2})-x_{i^{\prime }}& =(u_{i2}-u_{i^{\prime }1})(u_{i2}-u_{i^{\prime }2})\cdots (u_{i2}-u_{i^{\prime }m}),i+1\le i^{\prime }\le n;\\ & \cdots \cdots \cdots \\ h(u_{im})-x_{i^{\prime }}& =(u_{im}-u_{i^{\prime }1})(u_{im}-u_{i^{\prime }2})\cdots (u_{im}-u_{i^{\prime }m}),i+1\le i^{\prime }\le n.\end{array}$$

上述诸式之积等于

$$(h(u_{i1})-x_{i^{\prime }})(h(u_{i2})-x_{i^{\prime }})\cdots (h(u_{im})-x_{i^{\prime }})=(x_i-x_{i^{\prime }}{)}^m.$$

因此

$$\prod _{\begin{array}{c}1\le (i,j)<(i^{\prime },j^{\prime })\le (n,m)\\ i\ne i^{\prime }\end{array}}(u_{ij}-u_{i^{\prime }{j}^{\prime }}{)}^2=\prod _{1\le i<i^{\prime }\le n}(x_i-x_{i^{\prime }}{)}^{2m}=\Delta (g(x){)}^m.$$

综上所述，便有

$$\Delta (f(x))=\Delta (g(x){)}^m\Delta (h(x)-x_1)\Delta (h(x)-x_2)\cdots \Delta (h(x)-x_n).$$

证法 2 由例 5.69，我们有

$$\Delta (f)=(-1{)}^{\frac{1}{2}mn(mn-1)}R(f,f^{\prime }),$$ $$\begin{array}{rl}R(f,f^{\prime })& =R(g(h(x)),g^{\prime }(h(x))h^{\prime }(x))\\ & =R(g(h(x)),g^{\prime }(h(x)))R(g(h(x)),h^{\prime }(x)),\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}R(g(h(x)),g^{\prime }(h(x)))& =\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m{g}^{\prime }(h(u_{ij}))\\ & =\prod _{i=1}^n{g}^{\prime }(x_i{)}^m=(-1{)}^{\frac{1}{2}mn(n-1)}\Delta (g(x){)}^m,\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}R(g(h(x)),h^{\prime }(x))& =\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m{h}^{\prime }(u_{ij})\\ & =(-1{)}^{\frac{1}{2}mn(m-1)}\prod _{i=1}^n\Delta (h(x)-x_i).\end{array}$$

因为

$$\frac{1}{2}mn(mn-1)-\frac{1}{2}mn(n-1)-\frac{1}{2}mn(m-1)=\frac{1}{2}m(m-1)n(n-1)$$

是一个偶数，因此结论成立。$\square$