例 5.71

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• 例 5.74

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• 无

例 5.71

设 $f(x)$ 是数域 $F$ 上的多项式，已知 $\Delta (f(x))$，求 $\Delta (f(x^2))$。

解答

解法 1 设 $f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$，则由例 5.74 可得

$$\Delta (f(x^2))=(-4{)}^n{a}_0{a}_n(\Delta (f(x)){)}^2.$$

解法 2 设 $f(x)$ 的根为 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，则 $f(x^2)$ 的根为 $\pm \sqrt{x_i}(1\le i\le n)$。

$$\begin{array}{rl}\Delta (f(x^2))=& a_0^{4n-2}\prod _{1\le i<j\le n}(\sqrt{x_i}+\sqrt{x_j}{)}^2(\sqrt{x_i}-\sqrt{x_j}{)}^2(-\sqrt{x_i}+\sqrt{x_j}{)}^2(-\sqrt{x_i}-\sqrt{x_j}{)}^2\\ & \cdot \prod _{i=1}^n(\sqrt{x_i}+\sqrt{x_i}{)}^2\\ =& a_0^{4n-2}\left(\prod _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^4\right)\cdot 4^n{x}_1{x}_2\cdots x_n\\ =& a_0^{4n-2}\left(\prod _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^4\right)\cdot 4^n(-1{)}^n\frac{a_n}{a_0}=(-4{)}^n{a}_0{a}_n(\Delta (f(x)){)}^2.\square \end{array}$$