例 5.73

依赖于

• 例 5.72

被以下题目直接调用

• 例 5.66

例 5.73

设 $g(x)$ 是次数大于 $1$ 的多项式，求证：

$$\Delta ((x-a)g(x))=g(a{)}^2\Delta (g(x)).$$

解答

证明 设 $g(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}x+b_m$，其根为 $x_1,\cdots ,x_m$，则

$$\begin{array}{rl}\Delta ((x-a)g(x))& =b_0^{2m}\prod _{i=1}^m(a-x_i{)}^2\prod _{1\le i<j\le m}(x_i-x_j{)}^2\\ & =(b_0(a-x_1)\cdots (a-x_m){)}^2\cdot b_0^{2m-2}\prod _{1\le i<j\le m}(x_i-x_j{)}^2\\ & =g(a{)}^2\Delta (g(x)).\square \end{array}$$

注 只有当多项式 $f(x),g(x)$ 的次数都大于 $0$ 时，其结式 $R(f(x),g(x))$ 的定义才有意义。同理，只有当 $f(x)$ 的次数大于 $1$ 时，其判别式 $\Delta (f(x))$ 的定义才有意义。当然我们也可以作一些人为的规定，例如，若 $g(x)=c$ 是一个非零常数多项式，则约定 $R(f(x),g(x))=c^n$，其中 $n=\mathrm{deg}(f(x))$；若 $f(x)$ 是一个一次多项式，则约定 $\Delta (f(x))=1$。我们不难发现这些约定可以完美地融入到已证明的关于结式和判别式的结果中。特别地，例 5.72 和例 5.73 的结论也适合 $\mathrm{deg}f(x)=1$ 或 $\mathrm{deg}g(x)=1$ 的情形，并且例 5.73 也可以看成是例 5.72 的特例。因此从某种意义上说，这些关于结式和判别式的约定都是自然的。