例 5.72

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 5.73

例 5.72

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是次数大于 $1$ 的多项式，求证：

$$\Delta (f(x)g(x))=\Delta (f(x))\Delta (g(x))R(f,g{)}^2.$$

解答

证明 设

$$f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n,g(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}x+b_m,$$

且 $f(x),g(x)$ 的根分别是

$$x_1,x_2,\cdots ,x_n;x_{n+1},x_{n+2},\cdots ,x_{n+m},$$

则

$$\Delta (f(x)g(x))=(a_0{b}_0{)}^{2(n+m)-2}\prod _{1\le i<j\le n+m}(x_i-x_j{)}^2.$$

现将乘积中的因式作如下分类：若 $i\le n,j\le n$，则

$$a_0^{2n-2}\prod _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^2=\Delta (f(x));$$

若 $i>n,j>n$，则

$$b_0^{2m-2}\prod _{n+1\le i<j\le n+m}(x_i-x_j{)}^2=\Delta (g(x));$$

若 $i\le n,j>n$，则

$$a_0^{2m}{b}_0^{2n}\prod _{1\le i\le n<j\le n+m}(x_i-x_j{)}^2=R(f,g{)}^2.$$

因此便有

$$\Delta (f(x)g(x))=\Delta (f(x))\Delta (g(x))R(f,g{)}^2.\square$$