例 5.66

依赖于

• 例 5.65
• 例 5.73

被以下题目直接调用

• 无

例 5.66

求下列多项式的判别式：

$$\begin{array}{l}(1)f(x)=x^n+2x+1;\\ (2)f(x)=x^n+2;\\ (3)f(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1.\end{array}$$

解答

解 (1) 在例 5.65 中令 $p=2,q=1$，可得

$$\Delta (f)=(-1{)}^{\frac{1}{2}n(n-1)}\left(2^n(1-n{)}^{n-1}+n^n\right).$$

(2) 在例 5.65 中令 $p=0,q=2$，可得

$$\Delta (f)=(-1{)}^{\frac{1}{2}n(n-1)}{2}^{n-1}{n}^n.$$

(3) 在例 5.65 中令 $p=0,q=-1$，可得

$$\Delta (x^n-1)=(-1{)}^{\frac{1}{2}(n-1)(n-2)}{n}^n.$$

另一方面，由例 5.73 可得

$$\Delta (x^n-1)=\Delta ((x-1)f(x))=f(1{)}^2\Delta (f(x)),$$

因此

$$\Delta (f(x))=(-1{)}^{\frac{1}{2}(n-1)(n-2)}{n}^{n-2}.\square$$