例 5.63

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• 第 5 章解答题 23

例 5.63

求解下列方程组：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=4,\\ x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=4,\\ x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=4,\\ x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=4.\end{array}$$

解答

解 上述方程组表明：$s_1=s_2=s_3=s_4=4$。由 Newton 公式可求得 ${\sigma }_1=4,{\sigma }_2=6,{\sigma }_3=4,{\sigma }_4=1$。因此若将 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 看成是某个四次方程的根，则该方程应为

$$x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0,$$

即 $(x-1{)}^4=0$。这个方程的根为 $1,1,1,1$，因此方程组的解为

$$x_1=1,x_2=1,x_3=1,x_4=1.\square$$