例 5.33

依赖于

• 例 5.31
• 例 5.32

被以下题目直接调用

• 无

例 5.33

设多项式 $x^3+3x^2+mx+n$ 的 3 个根成等差数列，多项式 $x^3-(m-2)x^2+(n-3)x+8$ 的 3 个根成等比数列，求 $m$ 和 $n$。

解答

解 由例 5.31 和例 5.32 可知，$m,n$ 应满足如下关系：

$$\{\begin{array}{rcl}m& =& n+2,\\ -8(m-2{)}^3& =& (n-3{)}^3.\end{array}$$

若 $n-3=-2(m-2)$，则可联立求得 $m=3,n=1$。

若 $n-3=-2\omega (m-2)$，其中 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$，则可联立求得 $m=2-\sqrt{3}\mathrm{i},n=-\sqrt{3}\mathrm{i}$。

若 $n-3=-2{\omega }^2(m-2)$，则可联立求得 $m=2+\sqrt{3}\mathrm{i},n=\sqrt{3}\mathrm{i}$。$\square$