例 5.18

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• 例 5.49

例 5.18

设 $u$ 是复数域中某个数，若 $u$ 适合某个非零有理系数多项式（或整数系数多项式）$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$，则称 $u$ 是一个代数数。证明：

(1) 对任一代数数 $u$，存在唯一一个 $u$ 适合的首一有理系数多项式 $g(x)$，使得 $g(x)$ 是 $u$ 适合的所有非零有理系数多项式中次数最小者。这样的 $g(x)$ 称为 $u$ 的极小多项式或最小多项式。

(2) 设 $g(x)$ 是一个 $u$ 适合的首一有理系数多项式，则 $g(x)$ 是 $u$ 的极小多项式的充要条件是 $g(x)$ 是有理数域上的不可约多项式。

解答

证明 (1) 在 $u$ 适合的所有非零有理系数多项式构成的集合中（由假设这个集合非空），可以取出一个次数最小的多项式，然后将其首一化，即可得到 $u$ 的极小多项式 $g(x)$。为了证明极小多项式的唯一性，我们先证明极小多项式的一个基本性质，即极小多项式可以整除 $u$ 适合的任一多项式 $f(x)$。假设

$$f(x)=g(x)q(x)+r(x),\mathrm{deg}r(x)<\mathrm{deg}g(x),$$

则由 $f(u)=g(u)=0$ 可知 $r(u)=0$。若 $r(x)\ne 0$，则 $u$ 适合一个比 $g(x)$ 的次数更小的多项式 $r(x)$，这和 $g(x)$ 是极小多项式矛盾。因此 $r(x)=0$，即 $g(x)\mid f(x)$。设 $h(x)$ 也是 $u$ 的极小多项式，则由上述性质可得 $g(x)\mid h(x),h(x)\mid g(x)$，从而 $g(x)$ 和 $h(x)$ 只差一个非零常数，又它们都是首一的，故只能相等，唯一性得证。

(2) 先证必要性。若极小多项式 $g(x)$ 在有理数域上可约，则 $g(x)=g_1(x)g_2(x)$ 可分解为两个比 $g(x)$ 的次数更小的多项式的乘积。由 $0=g(u)=g_1(u)g_2(u)$ 可知 $g_1(u)$ 和 $g_2(u)$ 中至少有一个等于零。不妨设 $g_1(u)=0$，则 $u$ 适合一个比 $g(x)$ 的次数更小的多项式 $g_1(x)$，这和 $g(x)$ 是极小多项式矛盾。再证充分性。设 $g(x)$ 是 $u$ 适合的有理数域上的首一不可约多项式，$h(x)$ 是 $u$ 的极小多项式。由极小多项式的基本性质可知 $h(x)\mid g(x)$，又 $g(x)$ 是不可约多项式，于是 $g(x)$ 和 $h(x)$ 只差一个非零常数，而它们又都是首一的，故只能相等。因此 $g(x)$ 就是 $u$ 的极小多项式。$\square$