例 5.49

依赖于

• 例 5.18

被以下题目直接调用

• 无

例 5.49

设 $f(x)$ 是有理系数多项式，$a,b,c,d$ 是有理数，但 $\sqrt{c},\sqrt{d},\sqrt{cd}$ 都是无理数。求证：若 $a\sqrt{c}+b\sqrt{d}$ 是 $f(x)$ 的根，则下列数也是 $f(x)$ 的根：

$$a\sqrt{c}-b\sqrt{d},-a\sqrt{c}+b\sqrt{d},-a\sqrt{c}-b\sqrt{d}.$$

解答

证明 令

$$\begin{array}{rl}g(x)=& (x-(a\sqrt{c}+b\sqrt{d}))(x-(a\sqrt{c}-b\sqrt{d}))\\ & \cdot (x-(-a\sqrt{c}+b\sqrt{d}))(x-(-a\sqrt{c}-b\sqrt{d})),\end{array}$$

则经计算可得

$$g(x)=x^4-2(a^{2}c+b^{2}d)x^2+(a^{2}c-b^{2}d{)}^2.$$

注意到 $g(x)$ 是一个有理系数首一多项式，只要证明它不可约，便可由例 5.18 得到 $g(x)$ 是 $a\sqrt{c}+b\sqrt{d}$ 的极小多项式，从而 $g(x)\mid f(x)$，于是结论成立。显然 $g(x)$ 没有有理系数的一次因式，只要证明它没有有理系数的二次因式即可。经过简单的计算可知，在 $g(x)$ 的 $4$ 个一次因式中任取 $2$ 个一次因式相乘都不是有理系数多项式，因此 $g(x)$ 没有有理系数的二次因式。$\square$