例 5.12

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无显式依赖

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例 7.31

例 5.12

设 $g_{1} (x), \dots, g_{n} (x)$ 是两两互素的多项式， $r_{1} (x), \dots, r_{n} (x)$ 是 $n$ 个多项式。求证：存在多项式 $f (x)$ ，使得
$f (x) = g_{i} (x) q_{i} (x) + r_{i} (x) (1 \leq i \leq n) .$

解答

证明先证存在多项式 $f_{i} (x)$ ，使得对任意的 $i$ ，有

f_{i} (x) = g_{i} (x) p_{i} (x) + 1, g_{j} (x) ∣ f_{i} (x) (j \neq = i) .

一旦得证，只需令 $f (x) = r_{1} (x) f_{1} (x) + \dots + r_{n} (x) f_{n} (x)$ 即可。现构造 $f_{1} (x)$ 如下。因为 $g_{1} (x)$ 和 $g_{j} (x) (j \neq = 1)$ 互素，故存在 $u_{j} (x), v_{j} (x)$ ，使得

g_{1} (x) u_{j} (x) + g_{j} (x) v_{j} (x) = 1.

令

f_{1} (x) = g_{2} (x) v_{2} (x) \dots g_{n} (x) v_{n} (x) = (1 - g_{1} (x) u_{2} (x)) \dots (1 - g_{1} (x) u_{n} (x)),

显然 $f_{1} (x)$ 符合要求。同理可构造 $f_{i} (x)$ 。 $□$

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