例 5.11

依赖于

• 例 5.10

被以下题目直接调用

• 例 5.13

例 5.11

求证：$(f(x),g(x))=1$ 的充要条件是对任意给定的正整数 $m,n$，$(f(x{)}^m,g(x{)}^n)=1$。

解答

证明 必要性由例 5.10 即得。反过来，若 $d(x)\ne 1$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公因式，则它也是 $f(x{)}^m$ 和 $g(x{)}^n$ 的公因式，因此 $f(x{)}^m$ 和 $g(x{)}^n$ 不可能互素。$\square$