例 5.13

依赖于

• 例 5.11

被以下题目直接调用

• 无

例 5.13

设 $(f(x),g(x))=d(x),[f(x),g(x)]=h(x)$，求证：

$$(f(x{)}^n,g(x{)}^n)=d(x{)}^n,[f(x{)}^n,g(x{)}^n]=h(x{)}^n.$$

解答

证明 不妨设 $f(x),g(x)$ 都是首一多项式，$f(x)=f_1(x)d(x),g(x)=g_1(x)d(x)$，则 $(f_1(x),g_1(x))=1,h(x)=f_1(x)g_1(x)d(x)$。由例 5.11 可知，$(f_1(x{)}^n,g_1(x{)}^n)=1$，从而

$$(f(x{)}^n,g(x{)}^n)=(f_1(x{)}^{n}d(x{)}^n,g_1(x{)}^{n}d(x{)}^n)=d(x{)}^n.$$

从 $f(x{)}^{n}g(x{)}^n=(f(x{)}^n,g(x{)}^n)[f(x{)}^n,g(x{)}^n]=d(x{)}^n[f(x{)}^n,g(x{)}^n]$ 可得

$$[f(x{)}^n,g(x{)}^n]=f_1(x{)}^n{g}_1(x{)}^{n}d(x{)}^n=h(x{)}^n.\square$$