问题 2018A11

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• 例 3.95

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• 无

问题 2018A11

(1) 请用相抵标准型理论证明: 若 A 为 n 阶幂等阵, 即 $A^2=A$ , 则 $\mathrm{tr}(A)=\mathrm{r}(A)$ .

(2) 设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足 ${\phi }^m=I_V$ ($m\ge 2$), $W=\mathrm{Ker}(I_V-\phi )$ . 证明: 线性变换 $\frac{1}{m}{\sum }_{i=0}^{m-1}{\phi }^i$ 的迹等于 $\dim W$ .

解答

(1) 参考例 3.95 的推论.

(2) 设 $\psi =\frac{1}{m}{\sum }_{i=0}^{m-1}{\phi }^i$ , 则由 ${\phi }^m=I_V$ 可知 $(I_V-\phi )\psi =0$ , 于是 $\mathrm{Im}\psi \subseteq \mathrm{Ker}(I_V-\phi )=$

W. 反之, 任取 $w\in W$ , 即 $\phi (w)=w$ , 则 $\psi (w)=\frac{1}{m}{\sum }_{i=0}^{m-1}{\phi }^i(w)=w\in \mathrm{Im}\psi$, 于是 $W\subseteq \mathrm{Im}\psi$ , 从而 $W=\mathrm{Im}\psi$ . 另一方面, 由 $(I_V-\phi )\psi =0$ 可得 $\phi \psi =\psi$ , 从而 ${\phi }^i\psi =\psi$ , 于是 ${\psi }^2=\frac{1}{m}{\sum }_{i=0}^{m-1}{\phi }^i\psi =\frac{1}{m}{\sum }_{i=0}^{m-1}\psi =\psi$, 即 $\psi$ 是幂等线性变换. 再由 (1) 可得 $\mathrm{tr}(\psi )=r(\psi )=\dim \mathrm{Im}\psi =\dim W$.