第 4 章解答题 7

依赖于

• 例 3.66
• 例 4.44

被以下题目直接调用

• 无

第 4 章解答题 7

设 $V$ 是 $n$ 维向量空间，$\phi$ 及 $\psi$ 是其上的线性变换，求证：

$$\dim \mathrm{Ker}\phi \psi \le \dim \mathrm{Ker}\phi +\dim \mathrm{Ker}\psi .$$

解答

几何方法：线性变换 $\psi$ 在 $\mathrm{Ker}\phi \psi$ 上的限制诱导了线性映射 ${\psi }_1:\mathrm{Ker}\phi \psi \to \mathrm{Ker}\phi$。注意到 $\mathrm{Ker}{\psi }_1=\mathrm{Ker}\phi \psi \cap \mathrm{Ker}\psi =\mathrm{Ker}\psi$， $\mathrm{Im}{\psi }_1\subseteq \mathrm{Ker}\phi$，故由维数公式可得

$$\dim \mathrm{Ker}\phi \psi =\dim \mathrm{Im}{\psi }_1+\dim \mathrm{Ker}{\psi }_1\le \dim \mathrm{Ker}\phi +\dim \mathrm{Ker}\psi .$$

代数方法：在 $V$ 中选取一组基，设 $\phi ,\psi$ 在这组基下的表示矩阵为 $A,B$，问题转化为证明 $n-r(AB)\le (n-r(A))+(n-r(B))$，即 $r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$。这是例 3.66 或例 4.44 的结论。