第 4 章解答题 14

依赖于

• 例 4.6
• 例 4.27

被以下题目直接调用

• 无

第 4 章解答题 14

设 $V$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，$S=\{v_1,v_2,\cdots ,v_m\}$ 为 $V$ 中的向量组，定义集合

$$R_S=\{(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\in K^m\mid a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_m{v}_m=0\}.$$

再取 $V$ 中的向量组 $T=\{u_1,u_2,\cdots ,u_m\}$。证明：

$$\begin{array}{ll}(1)& R_S\text{ 是 }{K}^m\text{ 的线性子空间};\\ (2)& \text{存在线性变换 }\phi ,\text{ 使得 }\phi (v_i)=u_i(1\le i\le m)\text{ 的充要条件是 }{R}_S\subseteq R_T;\\ (3)& \text{存在线性自同构 }\phi ,\text{ 使得 }\phi (v_i)=u_i(1\le i\le m)\text{ 的充要条件是 }{R}_S=R_T.\end{array}$$

解答

几何方法：(1) 容易验证。(2) 必要性显然，下证充分性。不妨设 $\{v_1,\cdots ,v_r\}$ 是向量组 $S$ 的极大无关组，并将其扩张为 $V$ 的一组基 $\{v_1,\cdots ,v_r,e_{r+1},\cdots ,e_n\}$。定义 $\phi$ 为 $V$ 上的线性变换，它在基上的作用为：

$$\phi (v_i)=u_i(1\le i\le r),\phi (e_j)=0(r+1\le j\le n).$$

对任一 $v_j(r+1\le j\le m)$，设 $v_j={\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_r{v}_r$，则

$$({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r,0,\cdots ,0,-1,0,\cdots ,0)\in R_S.$$

由 $R_S\subseteq R_T$ 可知，$u_j={\lambda }_1{u}_1+\cdots +{\lambda }_r{u}_r$。因此

$$\phi (v_j)=\phi \left(\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{v}_i\right)=\sum _{i=1}^r{\lambda }_i\phi (v_i)=\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{u}_i=u_j(r+1\le j\le m).$$

(3) 必要性显然，下证充分性。不妨设 $\{v_1,\cdots ,v_r\}$ 是向量组 $S$ 的极大无关组，并将其扩张为 $V$ 的一组基 $\{v_1,\cdots ,v_r,e_{r+1},\cdots ,e_n\}$。利用与 (2) 相同的证明可得：若 $v_j={\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_r{v}_r$，则 $u_j={\lambda }_1{u}_1+\cdots +{\lambda }_r{u}_r(r+1\le j\le m)$。设 ${\mu }_1{u}_1+\cdots +{\mu }_r{u}_r=0$，则 $({\mu }_1,\cdots ,{\mu }_r,0,\cdots ,0)\in R_T$。由 $R_S=R_T$ 可知， ${\mu }_1{v}_1+\cdots +{\mu }_r{v}_r=0$。又 $\{v_1,\cdots ,v_r\}$ 线性无关，故 ${\mu }_1=\cdots ={\mu }_r=0$。因此 $\{u_1,\cdots ,u_r\}$ 是向量组 $T$ 的极大无关组，将其扩张为 $V$ 的一组基 $\{u_1,\cdots ,u_r,f_{r+1},\cdots ,f_n\}$。定义 $\phi$ 为 $V$ 上的线性变换，它在基上的作用为：

$$\phi (v_i)=u_i(1\le i\le r),\phi (e_j)=f_j(r+1\le j\le n).$$

因为 $\phi$ 把基映到基，故 $\phi$ 为自同构。利用与 (2) 相同的证明可得 $\phi (v_j)=u_j(r+1\le j\le m)$。代数方法：取定 $V$ 的一组基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$，则有 $V$ 到 $n$ 维列向量空间 $K^n$ 的线性同构 $\eta :V\to K^n$，它将 $v\in V$ 映到 $v$ 关于基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 的坐标向量。设 ${\alpha }_i=\eta (v_i),{\beta }_i=\eta (u_i)(1\le i\le m)$，则 ${\alpha }_i,{\beta }_i$ 都是 $n$ 维列向量。按列分块构造 $n\times m$ 矩阵 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m),B=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m)$。在线性同构的意义下，$R_S$ 等同于线性方程组 $Ax=0$ 的解空间 $V_A$，$R_T$ 等同于线性方程组 $Bx=0$ 的解空间 $V_B$。因此在线性同构的意义下，本题等价于证明如下结论：

$$\begin{array}{ll}(1)& \text{线性方程组 }Ax=0\text{ 的解空间 }{V}_A\text{ 是 }{K}^m\text{ 的子空间};\\ (2)& \text{存在 }n\text{ 阶方阵 }P,\text{ 使得 }PA=B\text{ 的充要条件是 }{V}_A\subseteq V_B;\\ (3)& \text{存在 }n\text{ 阶非异阵 }P,\text{ 使得 }PA=B\text{ 的充要条件是 }{V}_A=V_B.\end{array}$$

(1) 显然成立。(2) 是例 4.6 的代数版本。(3) 是例 4.27。