例 4.9

依赖于

• 例 4.8
• 例 3.66

被以下题目直接调用

• 无

例 4.9

设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，$\phi$ 是 $V$ 上的幂零线性变换，满足 $r(\phi )=n-1$。求证：存在 $V$ 的一组基，使得 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& 0\end{array}\right).$$

解答

证明 由假设存在正整数 $m$，使得 ${\phi }^m=0,{\phi }^{m-1}\ne 0$，从而存在 $\alpha \in V$，使得 ${\phi }^m(\alpha )=0,{\phi }^{m-1}(\alpha )\ne 0$。由例 4.8 可知，$\alpha ,\phi (\alpha ),\cdots ,{\phi }^{m-1}(\alpha )$ 线性无关，于是 $m\le \dim V=n$。另一方面，由 Sylvester 不等式（例 3.66）以及 $r(\phi )=n-1$ 可知，

$$r({\phi }^2)\ge 2r(\phi )-n=n-2.$$

不断这样讨论下去，最终可得 $0=r({\phi }^m)\ge n-m$，即有 $m\ge n$，从而 $m=n$。于是 $\alpha ,\phi (\alpha ),\cdots ,{\phi }^{n-1}(\alpha )$ 是 $V$ 的一组基，$\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 $A$。$\square$