例 4.56

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• 例 4.55

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• 无

例 4.56

设 $A,B$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶幂等矩阵，且 $A$ 和 $B$ 的秩相同，求证：必存在 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $C$，使得 $CB=AC$。

解答

证明 由例 4.55 可知，$A$ 和 $B$ 均相似于矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right),$$

于是 $A$ 和 $B$ 相似，即存在可逆矩阵 $C$，使得 $B=C^{-1}AC$，即 $CB=AC$。$\square$