例 4.46

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例 4.47

例 4.46

设 $V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 上线性变换 $φ$ 的不变子空间，求证： $V_{1} \cap V_{2}, V_{1} + V_{2}$ 也是 $φ$ 的不变子空间。

解答

证明任取 $v \in V_{1} \cap V_{2}$ ，则由 $v \in V_{i}$ 可得 $φ (v) \in V_{i} (i = 1, 2)$ ，于是 $φ (v) \in V_{1} \cap V_{2}$ ，从而 $V_{1} \cap V_{2}$ 是 $φ$ -不变子空间。

任取 $v \in V_{1} + V_{2}$ ，则 $v = v_{1} + v_{2}$ ，其中 $v_{i} \in V_{i}$ ，故 $φ (v_{i}) \in V_{i} (i = 1, 2)$ ，于是 $φ (v) = φ (v_{1}) + φ (v_{2}) \in V_{1} + V_{2}$ ，从而 $V_{1} + V_{2}$ 是 $φ$ -不变子空间。 $□$

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