例 4.47

依赖于

• 例 4.46

被以下题目直接调用

• 无

例 4.47

设 $\phi$ 是 $n(n\ge 2)$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明以下 $n$ 个结论等价：

$$\begin{array}{ll}(1)& V\text{ 的任一 }1\text{ 维子空间都是 }\phi \text{-不变子空间};\\ & \cdots \cdots \cdots \\ (r)& V\text{ 的任一 }r\text{ 维子空间都是 }\phi \text{-不变子空间};\\ & \cdots \cdots \cdots \\ (n-1)& V\text{ 的任一 }n-1\text{ 维子空间都是 }\phi \text{-不变子空间};\\ (n)& \phi \text{ 是纯量变换}.\end{array}$$

解答

证明 注意到当 $1\le i\le n-2$ 时，任一 $i$ 维子空间 $V_0$ 都可表示为两个 $i+1$ 维子空间 $V_1,V_2$ 的交，于是由例 4.46 可知：$(n)\Rightarrow (n-1)\Rightarrow (n-2)\Rightarrow \cdots \Rightarrow (1)$ 显然成立，剩下只要证明 $(1)\Rightarrow (n)$ 即可。取 $V$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，由 $(1)$ 可设 $\phi (e_i)={\lambda }_i{e}_i(1\le i\le n)$。只要证明 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n$ 即可得到 $\phi$ 为纯量变换。用反证法，不妨设 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$，则由 $L(e_1+e_2)$ 也是 $\phi$-不变子空间可设 $\phi (e_1+e_2)={\lambda }_0(e_1+e_2)$，于是 $({\lambda }_1-{\lambda }_0)e_1+({\lambda }_2-{\lambda }_0)e_2=0$，从而 ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_0$，矛盾。$\square$