例 4.29

依赖于

• 例 3.48

被以下题目直接调用

• 无

例 4.29

设 $V$ 是数域 $F$ 上 $n$ 阶矩阵全体构成的线性空间，$\phi$ 是 $V$ 上的线性变换：$\phi (A)=A^{\prime }$。证明：存在 $V$ 的一组基，使得 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵是一个对角矩阵且主对角元素全是 $1$ 或 $-1$，并求出 $1$ 和 $-1$ 的个数。

解答

证明 设 $V_1$ 是由 $n$ 阶对称矩阵组成的子空间，$V_2$ 是由反对称矩阵组成的子空间，则由例 3.48 可得

$$V=V_1\oplus V_2.$$

取 $V_1$ 的一组基和 $V_2$ 的一组基拼成 $V$ 的一组基，则 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵是对角矩阵且主对角元素或为 $1$ 或为 $-1$。因为

$$\dim V_1=\frac{1}{2}n(n+1),\dim V_2=\frac{1}{2}n(n-1),$$

故 $1$ 的个数为 $\frac{1}{2}n(n+1)$，$-1$ 的个数为 $\frac{1}{2}n(n-1)$。$\square$