例 4.21

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 4.22

例 4.21

设 $\phi$ 是线性空间 $V$ 到 $U$ 的线性映射，$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 和 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 是 $V$ 的两组基，$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 到 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 的过渡矩阵为 $P$。$\{g_1,g_2,\cdots ,g_m\}$ 和 $\{h_1,h_2,\cdots ,h_m\}$ 是 $U$ 的两组基，$\{g_1,g_2,\cdots ,g_m\}$ 到 $\{h_1,h_2,\cdots ,h_m\}$ 的过渡矩阵为 $Q$。又设 $\phi$ 在基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 和基 $\{g_1,g_2,\cdots ,g_m\}$ 下的表示矩阵为 $A$，在基 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 和基 $\{h_1,h_2,\cdots ,h_m\}$ 下的表示矩阵为 $B$。求证：

$$B=Q^{-1}AP.$$

解答

证明 任取 $v\in V$，设它在基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 下的坐标向量为 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\prime }$，则它在基 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 下的坐标向量为 $P^{-1}(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\prime }$。$\phi (v)$ 在基 $\{g_1,g_2,\cdots ,g_m\}$ 下的坐标向量为 $A(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\prime }$，在基 $\{h_1,h_2,\cdots ,h_m\}$ 下的坐标向量为 $B{P}^{-1}(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\prime }$。由于从 $\{g_1,g_2,\cdots ,g_m\}$ 到 $\{h_1,h_2,\cdots ,h_m\}$ 的过渡矩阵为 $Q$，故

$$A(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\prime }=QB{P}^{-1}(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\prime }.$$

因为 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\prime }$ 是任意的，故 $A=QB{P}^{-1}$，即 $B=Q^{-1}AP$。$\square$