例 4.16

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• 例 6.103

例 4.16

设 $V=M_n(F)$ 是 $F$ 上 $n$ 阶矩阵全体组成的线性空间，$A,B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，定义 $V$ 上的变换：$\phi (X)=AXB$。求证：$\phi$ 是 $V$ 上的线性变换，$\phi$ 是可逆变换的充要条件是 $A$ 和 $B$ 都是可逆矩阵。

解答

证明 容易验证 $\phi$ 是线性变换。若 $A,B$ 都是可逆矩阵，则 $\psi (X)=A^{-1}X{B}^{-1}$ 是 $\phi$ 的逆线性变换。下面用两种方法来证明必要性。

证法 1 若 $A$ 是不可逆矩阵，则我们可证明 $\phi$ 不是单映射，即存在 $X\ne O$，使得 $\phi (X)=AXB=O$，从而 $\phi$ 不是可逆变换。事实上，若 $A$ 的秩等于 $r<n$，则存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$，使得

$$PAQ=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right).$$

令

$$C=\left(\begin{array}{cc}O& O\\ O& I_{n-r}\end{array}\right),$$

则 $PAQC=O$，而 $P$ 是可逆矩阵，故 $AQC=O$，再令 $X=QC$ 即可。同理，若 $B$ 的秩小于 $n$，也可以证明 $\phi$ 不是可逆变换。

证法 2 若 $A$ 是不可逆矩阵，则对任意的 $n$ 阶矩阵 $X$，$\phi (X)=AXB$ 总是不可逆矩阵。因此 $\phi$ 不可能是映上的。同理，若 $B$ 是不可逆矩阵，$\phi$ 也不是映上的。$\square$