21 级高代 I 期中 07

依赖于

• 例 3.85

被以下题目直接调用

• 无

21 级高代 I 期中 07

设 $A=(a_{ij})$，$B=(b_{ij})$ 为两个 $m\times n$ 矩阵，Hadamard 乘积定义为

$$A\circ B=(a_{ij}{b}_{ij}{)}_{m\times n}.$$

证明

$$r(A\circ B)\le r(A)r(B).$$

解答

先处理秩为 $1$ 的情形，再利用例 3.85 将一般情形化为秩一矩阵之和。

若 $r(A)=0$，则 $A=O$，结论显然成立。

先看 $r(A)=1$ 的情形。此时可写

$$A=\alpha {\gamma }^{\prime },$$

其中

$$\alpha =(a_1,\dots ,a_m{)}^{\prime },\gamma =(c_1,\dots ,c_n{)}^{\prime }.$$

设

$${\Lambda }_1=\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_m),{\Lambda }_2=\mathrm{diag}(c_1,\dots ,c_n).$$

逐项比较可得

$$A\circ B={\Lambda }_{1}B{\Lambda }_2.$$

因此

$$r(A\circ B)=r({\Lambda }_{1}B{\Lambda }_2)\le r(B)=r(A)r(B).$$

再处理一般情形。设

$$r(A)=r\ge 1.$$

由例 3.85，$A$ 可分解为 $r$ 个秩为 $1$ 的矩阵之和：

$$A=A_1+\cdots +A_r,r(A_i)=1.$$

于是

$$A\circ B=(A_1+\cdots +A_r)\circ B=A_1\circ B+\cdots +A_r\circ B.$$

由矩阵秩的基本不等式和秩一情形，

$$\begin{array}{rl}r(A\circ B)& \le r(A_1\circ B)+\cdots +r(A_r\circ B)\\ & \le r(B)+\cdots +r(B)\\ & =rr(B)\\ & =r(A)r(B).\end{array}$$

结论得证。

参考：谢启鸿高等代数官方博客。