例 3.85

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• 例 3.13

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• 无

例 3.85

求证：矩阵 $A$ 的秩等于 $r$ 的充要条件是 $A$ 存在一个 $r$ 阶子式 $|D|$ 不等于零，而 $|D|$ 的所有 $r+1$ 阶加边子式全等于零。

解答

证明 只需证明充分性。不失一般性，我们可设 $|D|$ 是由 $A$ 的前 $r$ 行和前 $r$ 列构成的 $r$ 阶子式。设

$$A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\\ {\alpha }_m\end{array}\right)=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)$$

为矩阵 $A$ 的行分块和列分块，记 ${\tau }_{\le r}{\alpha }_i$ 为行向量 ${\alpha }_i$ 关于前 $r$ 列的缩短向量（缩短向量的定义请参考例 3.13），${\tau }_{\le r}{\beta }_j$ 为列向量 ${\beta }_j$ 关于前 $r$ 行的缩短向量。由 $|D|\ne 0$ 可得 ${\tau }_{\le r}{\alpha }_1,\cdots ,{\tau }_{\le r}{\alpha }_r$ 线性无关，由例 3.13 可知 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性无关。我们只要证明 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r$ 是 $A$ 的行向量的极大无关组即可得到 $\mathrm{r}(A)=r$。用反证法证明，若它们不是极大无关组，则可以添加一个行向量，不妨设为 ${\alpha }_{r+1}$，使得 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r,{\alpha }_{r+1}$ 线性无关。设 $A_1$ 是 $A$ 的前 $r+1$ 行构成的矩阵，则

$$A_1=({\tau }_{\le r+1}{\beta }_1,{\tau }_{\le r+1}{\beta }_2,\cdots ,{\tau }_{\le r+1}{\beta }_n)$$

且 $\mathrm{r}(A_1)=r+1$。由 $|D|\ne 0$ 可得 ${\tau }_{\le r}{\beta }_1,\cdots ,{\tau }_{\le r}{\beta }_r$ 线性无关，由例 3.13 可知 ${\tau }_{\le r+1}{\beta }_1,\cdots ,{\tau }_{\le r+1}{\beta }_r$ 线性无关。因为 $\mathrm{r}(A_1)=r+1$，故存在 $A_1$ 的一个列向量，不妨设为 ${\tau }_{\le r+1}{\beta }_{r+1}$，使得

$${\tau }_{\le r+1}{\beta }_1,\cdots ,{\tau }_{\le r+1}{\beta }_r,{\tau }_{\le r+1}{\beta }_{r+1}$$

线性无关。设

$$A_2=({\tau }_{\le r+1}{\beta }_1,\cdots ,{\tau }_{\le r+1}{\beta }_r,{\tau }_{\le r+1}{\beta }_{r+1}),$$

即 $A_2$ 是 $A$ 的前 $r+1$ 行和前 $r+1$ 列构成的方阵，则 $\mathrm{r}(A_2)=r+1$。因此，$|A_2|\ne 0$ 是包含 $|D|$ 的 $r+1$ 阶加边子式，这与假设矛盾。