21 级高代 I 期中 06

依赖于

• 例 3.86
• 例 4.24

被以下题目直接调用

• 无

21 级高代 I 期中 06

设 $A,B$ 均为 $m\times n$ 矩阵。证明：

1. 若 $r(A)=r$，则存在 $n$ 阶非异阵 $P$，使得 $AP$ 的后 $n-r$ 列全为零。

2. 若存在 $n$ 阶方阵 $S,T$，使得

   $$A=BS,B=AT,$$

   则存在非异阵 $Q$，使得

   $$B=AQ.$$

解答

先证第一问。由相抵标准型，存在 $m$ 阶非异阵 $Q$ 和 $n$ 阶非异阵 $P$，使得

$$QAP=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right).$$

设 $Q^{-1}=(Q_1,Q_2)$，其中 $Q_1$ 由 $Q^{-1}$ 的前 $r$ 列构成，则

$$AP=Q^{-1}\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)=(Q_1,O).$$

这说明 $AP$ 的后 $n-r$ 列全为零。

再证第二问。由

$$A=BS,B=AT$$

可得

$$r(A)\le r(B),r(B)\le r(A),$$

所以

$$r(A)=r(B)=r.$$

题目的条件和结论在右乘非异矩阵下不变，因此可借助第一问把 $A,B$ 化为

$$A=(A_1,O),B=(B_1,O),$$

其中 $A_1,B_1$ 都是 $m\times r$ 的列满秩矩阵。

把 $S,T$ 分块为

$$S=\left(\begin{array}{cc}{S}_{11}& S_{12}\\ S_{21}& S_{22}\end{array}\right),T=\left(\begin{array}{cc}{T}_{11}& T_{12}\\ T_{21}& T_{22}\end{array}\right).$$

由 $A=BS$ 与 $B=AT$ 得

$$(A_1,O)=(B_1{S}_{11},B_1{S}_{12}),$$ $$(B_1,O)=(A_1{T}_{11},A_1{T}_{12}).$$

于是

$$A_1=B_1{S}_{11},B_1=A_1{T}_{11},B_1{S}_{12}=0,A_1{T}_{12}=0.$$

从前两式得

$$A_1=A_1{T}_{11}{S}_{11}.$$

由于 $A_1,B_1$ 均列满秩，例 3.86 给出它们存在左逆。左乘左逆可推出

$$T_{11}{S}_{11}=I_r,S_{12}=T_{12}=O.$$

令

$$Q=\mathrm{diag}(T_{11},I_{n-r}).$$

由 $T_{11}{S}_{11}=I_r$ 可知 $T_{11}$ 非异，从而 $Q$ 非异；又

$$AQ=(A_1,O)\left(\begin{array}{cc}{T}_{11}& O\\ O& I_{n-r}\end{array}\right)=(A_1{T}_{11},O)=(B_1,O)=B.$$

所以 $B=AQ$。

博客还给出一种直接调用例 4.24 的证明：由

$$A=BS,B=AT$$

可转置为

$$A^{\prime }=S^{\prime }{B}^{\prime },B^{\prime }=T^{\prime }{A}^{\prime }.$$

因此齐次方程组

$$A^{\prime }x=0,B^{\prime }x=0$$

同解。由例 4.24，存在可逆矩阵 $Q$，使得

$$B^{\prime }=Q^{\prime }{A}^{\prime }.$$

转置即得

$$B=AQ.$$

参考：谢启鸿高等代数官方博客。