例 4.24

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 21 级高代 I 期中 06

例 4.24

设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 到 $m$ 维线性空间 $U$ 的线性映射，$\phi$ 在给定基下的表示矩阵为 $A$。求证：$\phi$ 是满映射的充要条件是 $r(A)=m$，$\phi$ 是单映射的充要条件是 $r(A)=n$。

解答

证明 注意到 $\dim \mathrm{Im}\phi =r(A)$，并且 $\phi$ 是满映射的充要条件是 $\mathrm{Im}\phi =U$，这也等价于 $\dim \mathrm{Im}\phi =\dim U=m$，故第一个结论成立。

注意到 $\dim \mathrm{Ker}\phi =n-r(A)$，并且 $\phi$ 是单映射的充要条件是 $\mathrm{Ker}\phi =0$，这也等价于 $\dim \mathrm{Ker}\phi =0$，故第二个结论成立。$\square$