问题 2023A10

依赖于

• 例 3.93
• 例 4.3

被以下题目直接调用

• 无

问题 2023A10

请分别用代数方法和几何方法证明以下结论: 设 $A\in M_{m\times n}(\mathbb{K})$，则存在 $B\in M_{n\times m}(\mathbb{K})$，使得 ABA = A, BAB = B.

解答

下面给出三种证法.

代数证法 1 完全类似于例 3.93 的证法 1. 最后 $B=\left(\begin{array}{cc}{B}_1& B_2\\ B_3& B_4\end{array}\right)$ 要满足的条件是: $B_1=I_r,B_4=B_3{B}_2,B_2,B_3$ 取法任意.

代数证法 2 与例 3.93 的证法 2 相同, 最后再验证 BAB = B 即可.

几何证法与例 4.3 的证明相同, 最后再验证 $\psi \phi \psi =\psi$ 即可.