问题 2022A08

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问题 2022A08

设 $V=\{z\in C\mid |z|=1,z\ne -1\}$ , V 中两个数 $z_1,z_2$ 的加法 $\oplus$ 定义为

$$z_1\oplus z_2=\frac{-1+z_1+z_2+3z_1{z}_2}{3+z_1+z_2-z_1{z}_2};$$

实数 k 关于 V 中数 z 的数乘 $\circ$ 定义为

$$k\circ z=\frac{(1-k)+(1+k)z}{(1+k)+(1-k)z}.$$

证明: $(V,\oplus ,\circ )$ 是实数域 R 上的线性空间.

解答

依次验证线性空间的八条公理即可, 验证细节留给读者完成. 下面揭示一下本题深层次的内涵. 设 $i=\sqrt{-1}$ 为虚数单位, $U=\{ai\mid a\in \mathbb{R}\}$ 为复平面上的虚轴, 容易验证 U 在虚数的加法以及实数对虚数的数乘这两种运算下成为实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间. 定义函数 $f(z)=\frac{1-z}{1+z}$ , 容易验证 $f$ 是 $V\to U$ 的双射, 并且对任意的 $z_1,z_2,z\in V,k\in \mathbb{R}$ 满足:

$$f(z_1\oplus z_2)=f(z_1)+f(z_2),f(k\circ z)=kf(z).$$

因此, $f:V\to U$ 是一个线性同构. 换言之, 由 问题 2021A10 可知, 双射 $f:V\to U$ 以及 $U$ 的线性空间结构诱导了 $V$ 的线性空间结构, 这就是本题给出的 $V$ 上的加法 $\oplus$ 以及数乘 $\circ$ 这两种运算.